1 研究背景概述

纵观世界数学发展史，17—19世纪的英国、德国、法国等欧洲大国都是数学强国。英国的牛顿提出了微积分理论，不仅在数学领域引发一场革命[1]，同时也大量应用于许多物理问题的研究。法国一直拥有深厚的数学文化发展历史，而德国的哥廷根于20世纪初成为世界数学的中心[2]。俄罗斯在数学领域的发展从19世纪开始，至苏联时期成为世界数学强国之一。特别是苏联于1958年成功发射了第一颗人造地球卫星，也象征着苏联在与此相关的数学领域处于世界领先地位。此外，苏联重视基础科学教育，也是其在基础科学研究中具有雄厚实力的一个重要原因。第二次世界大战前美国在数学上远落后于欧洲，但如今也已成为数学超级大国。一方面由于大批犹太裔数学家被迫移居美国，增强了美国的数学实力[3]；另一方面在苏联发射第一颗人造地球卫星后，美国加强了对数学研究和数学教育的投入，使其迅速成为一个数学强国。

学界普遍认为下一次科技革命将以人类3种新的 “生存形式”为重要标志，即网络人（生活在网络空间的虚拟人）、仿生人（高仿真智能人）和再生人（具有自然人特征的“复制人”）。并预计这次科技革命将在2020—2050年到来。数学对整个社会经济的发展起着至关重要的作用[4-6]，在前几次科技革命中都起到了先导与支柱的作用，因而有理由相信数学必将成为下一次科技革命重要的推动力之一[7]。由此可见数学在科技发展中的重要地位[8]，本文对于将高等数学知识应用到森林工程教学课堂进行研究，以期推动数学在教育领域的综合应用。

为了更好地说明如何将高等数学知识应用到森林工程教学课堂，文中采用了基于气穴气泡研究的一个实例。在过去的几个世纪中，气穴问题在森林工程领域一直被认为是流体机械气蚀问题的主要起因之一。大量的试验和数值分析工作都是围绕企图找出气蚀问题的产生机理展开的。Rayleigh[9]最先开始这方面的工作，其研究认为圆形气泡溃破时产生的局部高压，即气穴是产生气蚀现象的原因。式（1）为R-ayleigh推导得到的经典气穴气泡动力学方程。

式（1）中：r为气泡半径（m）；PB为气泡内的压力（Pa）；P∞为外界无穷远处的压力（Pa）； ρ为流体的密度（kg/m3）；t为时间（s）。

2 研究方法

2.1 量纲分析方法

国际单位组织定义了7个最基本的单位，其他的单位都可以由这7个基本单位导出。这7个基本单位分别为长度，米（m）；质量，千克（kg）；时间，秒（s）；电流，安培（A）；热力学温度，开尔文（K）；发光强度，坎德拉（cd）；物质的量，摩尔（mol）。长度、质量和时间这3个基本单位是森林工程课堂中常用的单位。

量纲分析法又称为因次分析法，是一种数学分析方法，其可以正确地分析各变量之间的关系，简化试验和成果整理，所以量纲分析是分析流体运动的有力工具。通过量纲分析可以检查反映物理现象规律的方程在计量方面是否正确，甚至可提供寻找物理现象某些规律的线索。

应用量纲分析法，式（1）可以写成：

通过这种分析方法，推导过程的准确性可以很容易得到保证，而且方程的特性和实质也很容易发现。

2.2 ODE求解方法

在数学领域中，只包含一个独立变量及其导数的单个或多个微分方程被称为常微分方程（ODEs）。常微分方程广泛应用于数学、工程和科学等领域。在数学中“变化”是用导数和微分来描述的。种类繁多的导数、微分及函数通过方程联系在一起，用来刻画各种动态变化的现象、进化或演变过程。

如果式（1）中的压差为定值，那么它属于一个ODE问题，然后对比研究显式欧拉法（Forward Euler′s method）、隐式欧拉法（Backward Euler′s method）、改进欧拉法（Modified Euler′s method）、ODE45 方法和龙格库塔法（Runge-Kutta method）在分析ODE问题上的应用[10]。

显式欧拉法表达式：

隐式欧拉法表达式：

改进欧拉法表达式：

4阶龙格库塔法表达式：

式（6）中参数的计算如下：

式（3）～（7）中：h 为步长。

ODE45方法是MATLAB程序软件包内植的一条命令程序。

首先应用上述方法分析单个气泡的动态生长过程，包括气泡半径变化情况和生长速率情况（图1）。

再应用上述方法分析单个气泡的动态溃灭过程，包括气泡半径变化情况和溃灭速率情况（图2）。

文章来源：《森林工程》 网址: http://www.slgcbjb.cn/qikandaodu/2021/0505/384.html